cabecera

ESTUDIO DEL ANTIGUO EGIPTO EN CHILE













Por Gerardo de León

Introducción


El embrujo que ejerce el antiguo Egipto sobre todos nosotros hace que sobre esta civilización se escriba y se hable en demasía mucha veces, sobre todo exagerando y distorsionando los temas místico-religiosos, confundiendo lo científico con la fantasía . Esto produce una subestimación de esta cultura que desde sus orígenes demostró estar fundada sobre bases sólidas en todos los campos del conocimiento.
En cuanto al conocimiento científico matemático demostró ser brillante, eminentemente práctico y positivista, el cual fue una cantera de información de la cual se nutrieron otras civilizaciones.


Orígenes
Métodos - Características
Numeración - Aritmética
Geometría
Geometría del espacio
Conclusiones Finales



ORÍENES


Los papiros encontrados indican que por lo menos en el siglo XXVII AC ya estaba asentado el pensamiento científico en el antiguo Egipto. Un grupo de árabes, específicamente Mustafa Agha, encontró el 10 de enero de 1862 unos rollos de papiros entre los pies de la estatua de Anubis en Letópolis, quien luego se los vendió a compradores ingleses de antigüedades. Uno de los papiros era referente a medicina (Papiro de Edwin Smith) y el otro referente a matemática llamado Papiro de Rhind, ambos llamados así por sus compradores. Además se encontraron fragmentos de escritura hierática con el nombre o referentes al rey Tutmosis I.

>> Fragmento del papiro matématico de Rhind, redactado por un sacerdote en la dinastía XII

MÉTODOS - CARACTERÍSTICAS


Breasted se opuso a la opinión generalizada de que el antiguo egipcio solo se interesó por lo científico siempre y cuando persiguiera un fin práctico que se aplicara al diario vivir. El egipcio de entonces logró desprenderse de lo mágico y sobreponerse a ello. El papiro de Rhind nos muestra poco de racionalidad en cuanto al sentido pleno de la expresión. Pero sin embargo por la disposición sistemática, el cuidado del orden y de la precisión y la preocupación de la verdad, es decir por la forma de tener en cuenta las cosas, se testimonia un espíritu lógico que se orienta hacia lo que más tarde será el pensamiento científico, la racionalización científica, o mejor dicho el método racional y experimental unificado. Es decir, en resumen se trata de un método empírico pero perfectamente trazado y seguido, que convierte ese empirismo en verdad científica.(2).

Pero debemos dejar claro que por más absurdo que parezca, junto a ese positivismo, tan ausente de curiosidad teórica , existía la tradición mágica. En cuanto a matemática no tenemos documentos seguros para establecer las comparaciones mágico-prácticas o mágico-métricas, como por ejemplo en construcciones como la gran pirámide, ya que no existe ningún texto que nos estimule a pensarlo. No podemos sacar ningún tipo de conclusión al respecto.

Se puede afirmar sí, que es particularidad de Egipto y consecuencia de ese espíritu rigurosamente práctico que le dio gran reputación entre los antiguos, esa separación absoluta entre técnica y magia, entre conocimiento útil que busca el resultado seguro, conocimiento baconiano y el enorme bagaje mágico que rodeaba todo el ambiente.

Si recordamos los esfuerzos relativos al Teorema de Pitágoras en Caldea durante la segunda mitad del tercer milenio, creemos poder afirmar que hacia el 2000 AC a grandes rasgos, ya poseemos documentos que no podemos calificarlos como totalmente científicos; pero hay que aclarar que esa palabra no tiene el mismo significado para Egipto que para Grecia en todo lo referente a lo racional y lo lógico, y por lo tanto a lo filosófico.(7)



Pero se debe entender que para los egipcios el orden universal ya estaba establecido por los dioses, y que su mundo era completamente diferente al mundo griego , cambiante, donde la vida quedaba siempre entre el ser y el devenir.(3)

Muchos autores entre los que están Breasted, Kaprinski y O. Gillian, criticaron la posición de Peet por el hecho de que si por ejemplo, un egipcio estudia la superficie de una figura poligonal cerrada o de un semicírculo, o el volumen de un prisma, etc, sea pura y exclusivamente para usarlo en sus campos, para pagar tributos o para medir el grano para venderlo. Criticaron estas afirmaciones y las enfrentaron contra el espíritu egipcio puramente científico.(7)

Kaprinski ha insistido en este interés puramente científico de los egipcios en el campo matemático, basándose en los tres problemas de progresión que aparecen en el Papiro de Rhind. El mencionado autor y Breasted, pusieron como hipótesis entre otras que existe un segundo cálculo que solo tiene como fin demostrar que se puede llegar al mismo resultado por el mismo método.

Pero aparte de estos problemas todo el Papiro de Rhind lo que muestra es ciencia y positivismo puro.

Fue el interés práctico el que liberó la ciencia pura de todo misticismo. La ciencia egipcia se diferencia de la que florecerá en Grecia, en que no tiene ninguna aspiración teórica ni metafísica . Es solamente técnica como lo dio a entender Platón y después Herodoto. No debemos confundirla con nada menos.( 1)

No tiene nada en común con el mundo de Heráclito en el que estaba continuamente cuestionándolo todo para así llegar a un conocimiento profundo.(3)

La mayoría de las personas que escriben sobre ciencia griega, suponen que surgió espontáneamente con los griegos jónicos, pero es fundamental aclarar que los egipcios enseñaban oralmente, en cambio los griegos por medio de escritura. De ahí que se conozca mucho menos de los egipcios que de los griegos, y cuando hablamos del tema de ciencia egipcia siempre comenzamos en desventaja con respecto a los griegos.( 5 ).

Los egipcios no han tenido nunca la curiosidad filosófica del griego, pero muchos autores se olvidan de la deuda que Grecia tiene con Egipto. Dicha deuda ha sido reconocida por los propios griegos, uno de ellos Thales de Mileto quién junto a muchos más quedaban impresionados por la enormidad de conocimientos prácticos y útiles de los egipcios.(5)

Alcanzaron los egipcios resultados sorprendentes como mencionamos, en las aplicaciones prácticas de sus conocimientos, pero lamentablemente no quedan casi documentos escritos. Además los conocimientos teóricos que hubieran existido estaban en manos de la clase privilegiada -los sacerdotes y los escribas- y cuyo interés era mantenerlos en secreto.( 5)

Con todo, la investigación futura puede revelar una actitud científica en el antiguo Egipto mucho más desarrollada que lo que se ha sospechado hasta ahora.

NUMERACIÓN - ARITMÉTICA


En la dinastía I (3200 AC) se usaba un sistema de numeración que suponía el uso de grandes cifras que llegaban a millones. Existían signos separados para la unidad y para cada potencia de 10 hasta un millón. El cero no existía, y no se conocía la notación de posición, como tampoco la conocían los griegos. Quienes recién la introdujeron fueron los matemáticos hindúes. Como no existían signos independientes para los números que iban entre 1 y 10 , se repetían los números hasta llegar al número requerido. Así el número 142857, comprendía 27 signos jeroglíficos separados. Sin embargo el hierático cursivo usaba abreviaturas. Además debemos tener en cuenta que si usáramos el método alfabético español necesitaríamos 47 letras o signos. (3).

El método ilustra el hecho de que todos los procedimientos aritméticos se resumen a contar; es decir la suma, la multiplicación se resumen a contar. La resta era contar para atrás. La división era el contrario de la multiplicación. La potenciación era una forma especial de multiplicación, y a la radicación otra forma de división.

El egipcio usaba un recurso para agilitar la multiplicación por 10. Consistía en sustituir los signos de 10 por unidades, los signos de 100, por "dieces", los signos de 1000 por "cienes" y así sucesivamente.(5). De esa forma cada suma suponía corrientemente un número sucesivo de operaciones de doblar o reducir a la mitad. Si en el curso del trabajo era necesario multiplicar 15 x 13, se procedía así:



Los factores que daban la suma de 13 eran señalados al margen izquierdo con una barra y los productos correspondientes eran sumados conjuntamente.(4)(5)

COMBINATORIA- En este artículo se menciona como el problema más antiguo relacionado con combinatoria, el problema de la casa del gato y del ratón, ubicado en el papiro de Rhind con el número 79, en el cual ocurre similarmente como en un problema de Fibonacci Liber Abaci y en una antigua canción de cuna inglesa. Todos son referidos a combinaciones del 7. La primera ocurrencia de combinatoria "per se" es la los 64 hexagramas del I Ching.(12)

PROPORCIONES- Este método se usaba comúnmente, pero no ha quedado nada explicitado. Se usaba uno que consistía en llegar a un resultado provisional y hallar luego la alteración que se necesitaba para llenar los requisitos del problema. Es el método de la "posición falsa" usado mucho por Diofanto de Alejandría (250 DC). Se siguió usando en los textos viejos hasta que fue suplantado por los métodos algebraicos actuales.(5)

Con la excepción de 2/3 y 3/4 no se empleaban fracciones mixtas, solamente en las que además de las mencionadas tenían a la unidad como numerador, es decir fracciones de la unidad. Por ejemplo, una fracción que escribimos 7/2 se expresaba por medio de las fracciones 1/3 1/4 escritas una a continuación de la otra, indicando que se sumaban, justamente como escribimos nosotros ahora 1 2/3.

Se hicieron tablas para las fracciones con 2 como numerador con sus equivalentes en 2 o más fracciones de la unidad. Una anotación típica en una de las tablas es la división de 2 entre 69: 1/60; 1/356; 1/534; 1/890. Si en el curso del trabajo era necesario doblar el escriba recurriría a la tabla y fijaría la serie de fracciones que se citaron arriba, anteriormente. Así evitaban el inconveniente de desarrollar un sistema de anotación más compleja, que habría simplificado grandemente su labor.

Sabían que 2/3 + 1/5 era igual a 11 fracciones de 1/15 y que se requerían 4 más para completar el total. Pero no intentaron crear un método que expresara las 11 fracciones de unidad mencionada como 11/15. Para ellos esto era una colección de 11 fracciones de unidad. Los primeros ejemplos de fracciones mixtas no se encuentran hasta los tiempos demóticos. Así "mi 1/3 1/5 parte, que hace 2 partes de 5 da las casas" es simplemente otra forma de escribir 2/5. La limitación de este método hacía necesario el uso de tablas. Para medir los granos estaba el "hekat", una unidad de aproximadamente 36 litros. Se la dividía en partes fraccionarias de ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, cada una con su propia designación que se representaba en alguna parte del Ojo de Horus, el que según el mito había sido hecho pedazos por el malvado Set. (5)y (11).

Las fracciones por debajo de 1/64 se expresaban en términos de ro (1/320 partes de un hekat). Jamás usó el egipcio ninguna otra parte fraccionaria, pero si en el curso del trabajo necesitaba expresar, por ejemplo 1/7, lo que hacía era reducirla a una serie de partes diminutas como vimos. De esa misma forma los ingleses no escribían 1/11 sino que expresan esa fracción en quintales, arrobas y libras. Se ve en la tabla siguiente diversas fracciones de hekat en términos de fracciones conocidas: 1/11 de hekat = 1/16 + 1/64 + 4 1/11 ro Parece que 2/3 era una fracción conocida y que podían anotar 2/3 de un número sin hacer cálculos. Se obtenía 1/3 reduciendo 2/3 a la mitad, pues se consideraba como las dos partes de una distancia dividida en tres partes, siendo 1/3 la tercera y última parte.

Con un sistema tan complicado de notación fraccionaria el cálculo por supuesto era dilatado y engorroso. Este sistema persistió mucho tiempo después de haberse generalizado las fracciones mixtas. Se lo encuentra con el mismo trato excepcional de 2/3 en el papiro Akhmim, escrito en griego en el 600 de nuestra era.

Como no se instrumentó ningún sistema de símbolos de notación, no existían fórmulas generales, solamente la excepción: "...para obtener 2/3 de una fracción tómese 1/2 1/6." (4)(5)


GEOMETRÍA


El papiro de Rhind estudia las figuras geométricas como círculos, trapecios, rectángulos. Dominaban los ejercicios de áreas y de volúmenes y trabajaban con el número Pi (3,1415.......), con una aproximación más exacta (3,16) de lo que lo hacían otras civilizaciones de la época que usaban solamente el 3. (3)

No olvidemos la importancia de la aplicación de la ecuación 3 al cuadrado + 4 al cuadrado = 5 al cuadrado (referente al Teorema de Pitágoras) con el cual ellos marcaban los ángulos rectos de sus parcelas. Luego de cada crecida, el Nilo se retiraba dejando su preciado limo pero se llevaba consigo los palos que generalmente separaban las parcelas de labranza. Simplemente con una cuerda de 13 nudos lograban formar el ángulo recto. Esto lo podían hacer gracias al hecho de que dominaban el Teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos catetos. Entonces con la cuerda de 13 nudos, los primeros 5 espacios entre 6 nudos eran la hipotenusa de ese triángulo rectángulo. Así un cateto lo formaban con 4 nudos y otro con 5. Clavando estacas en los lugares exactos a los nudos correspondientes con la cuerda tirante se formaba el ángulo recto del triángulo.(11)

Pero debemos reconocer que si bien podían hacer esto no significa que conocieran ninguna fórmula general respecto al teorema mencionado, porque no se han encontrado documentos escritos.(12)

Del mismo modo muchos autores estudiosos de la ingeniería señalan que estas construcciones hipnotizadoras, implican errores de angulación y perspectiva, lo cual confirmaría que no dominaban completamente el teorema mencionado.(12)

Respecto a Pitágoras, uno de los más grandes filósofos de la antigüedad, discípulo de Thales de Mileto, se piensa que nació en la isla de Samos cerca de la costa de Asia Menor en el 580 AC. Viajó mucho y estuvo muchos años en Egipto y también en Babilonia, para finalmente radicarse en Cretona al sur de Italia.(10)

Debemos tener en cuenta que si bien a él se le atribuye el teorema mencionado, se conoce que del antiguo Egipto recopiló importante, sino la mayoría de la información para luego fundar la Escuela Pitagórica. Tal es la importancia del antiguo Egipto en cuanto a la Geometría que en nuestros actuales textos, a la Geometría se la define como "medir la tierra" geo (tierra), metría (medir) por anteriormente mencionado de las crecidas del Nilo. (9) La geometría es la parte de la matemática que estudia las propiedades de las figuras y los cuerpos prescindiendo de su tamaño estructura y posición. Estudia también las medidas de superficie y volumen. Es junto con la aritmética una de las primeras ciencias que ha estudiado el hombre. En efecto, los objetos que rodeaban al hombre fueron formando con él los conceptos de las curvas y las rectas, de figuras planas y de cuerpos, de formas y de volúmenes diferentes. Así la observación de un rayo de luz le dio la idea de recta, el arco iris la idea de curva, una burbuja la idea de esfera, el sol y la luna llena como círculos, etc. Claro que en un principio fueron ideas aisladas de forma, tamaño y de propiedades que se comprobaron prácticamente, y pasaron siglos para que estos conocimientos se ordenaran formando la geometría. Es indudable que en el pueblo egipcio está la cuna de la geometría en cuanto a la acumulación de un bagaje enorme de conocimiento.

Pero fueron los griegos los que tuvieron la gloria o la suerte histórica de darle al a geometría un carácter netamente científico, reuniendo todos los conocimientos diseminados y adquiridos en forma empírica a lo largo de los siglos.(9) Los problemas relacionados con las pirámides ilustran el método egipcio de medir un ángulo de inclinación con la ordenada horizontal por unidad vertical de altura (el Seked), una medida de lo que hoy llamamos la cotangente de un ángulo. En la práctica al cortar piedras con un ángulo requerido, el constructor trazaba un codo verticalmente y luego señalaría el seked horizontalmente. Luego tiraba la línea indicadora de la dirección en la que había que cortar la piedra. Estas líneas se han encontrado a menudo en los bloques de piedra.

El ingeniero antiguo afrontó el problema del peso de la pirámide, lo que estaba compensado en parte por la propia forma de la misma, ya que era de una altura de 166metros y sobre la base se ejercía una enorme presión. La cámara funeraria dentro de la pirámide estaba protegida por una estructura formada por enormes bloques de piedra ubicados con tal forma y angulación que desviaran las fuerzas.

Los cálculos fueron hechos con una unidad de medida sacada de la propia naturaleza , "el cúbito" o "codo" (antebrazo) que era una regla de 52 centímetros , subdividido en 7 palmos o en 28 dedos (4).

Ya hemos mencionado el sinnúmero de cálculos que hacían para lograr los resultados deseados, pero una cosa asombrosa es la fórmula del volumen de la pirámide truncada, algo común de ver durante la construcción de las pirámides, así como un obelisco es una pequeña pirámide sobre otra pirámide truncada. Se necesitaron hacer cálculos de materiales para todas estas construcciones; la fórmula moderna es V = e(a al cuadrado + ab + b al cuadrado) donde e es la altura, y donde a y b son los lados de los cuadrados que forman la superficie de las dos bases.

Es posible que hallan llegado a una fórmula trabajando a escala con modelos de arcilla del Nilo y probando, dividiendo los cuerpos, en fin podrían haber llegado a esa fórmula. Debemos dejar claro que no hay evidencia de que ellos supieran hallar el volumen de una pirámide pero es imposible creer que no lo supieran. Si hubiesen sabido hallar el volumen de una pirámide, el de una pirámide truncada lo podían haber calculado haciendo la resta de las dos pirámides.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO


En el papiro de Moscú hallamos en el problema 10 un problema referido a la superficie de una canasta, y algunos piensan que esa canasta se refiere a una semiesfera. El autor estudia y analiza la canasta y llega a la conclusión de que en efecto es una semiesfera con capacidad de contener 100 hekat de maíz.(12).


CONCLUSIONES FINALES


De todo lo que hemos mencionado se concluye que el conocimiento matemático de los antiguos egipcios era esencialmente práctico, el que fue desarrollándose con el fin de solucionar problemas específicos. Raramente los problemas se refieren a números abstractos. No estaban ellos de por sí interesados en desarrollar una teoría o una filosofía determinada y mientras un método cualquiera cubriese sus necesidades, estaban satisfechos. Esto hizo que no les interesara mejorarlo o simplificarlo.(5)

Pero nuevamente debemos diferenciar nuestras palabras de las de muchos escritores que se dedican a enfatizar lo que los egipcios no han hecho en lugar de mencionar todo lo que sí pudieron lograr. Esto ha hecho que no se valorice al egipcio como ha merecido. Antes del 2000 AC ya había dado forma a un sistema práctico de numeración, con el que podía efectuar complicados cálculos de expresiones fraccionarias.

Dio forma a métodos resolutivos por el método de adición de números recíprocos y el planteamiento de ecuaciones elementales.

Dominaron la geometría de las principales figuras y lograron un conocimiento de la geometría del espacio que le permitió esas magníficas construcciones que nos sobrevivirán por muchos siglos más, aún cuando mucho de nuestra civilización ya no exista.




BIBLIOGRAFÍA


  • H.yH.A. Frankfort, J.A.Wilson y T.Jacobson. El Pensamiento Prefilosófico I .Egipto y Mesopotamia. Breviarios del Fondo de Cultura Económico. México.1980.
  • René Taton- La Sciences Antique et de L'Orient. Paris. Presses Universitaires de France 1957.
  • Juan José Castillos. El Egipto Faraónico. Ediciones MAAT. Montevideo 1996.
  • John A. Wilson. La Civiltà Dell Antico Egitto.1ª Edición Milano: Arnoldo Mondadori 1965.
  • R.W. Sloley. El Legado de Egipto. Univ. de Oxford. Madrid.Edit S.R.K. Glanvilley ed. Pegasso 1944.
  • Alfred Cyril. The Egyptians .London Thames and Hudson. Edit. Dr. Glyn Daniel.
  • Rey, A. La Ciencia Oriental antes de los Griegos. Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana. México 1959.
  • Sir William Tarn.Hellenistic Civilisation. University Paperbacks.Methuen: London.1951.
  • C. Repetto - H. Fesquet. Matemática Moderna . Ed. Kapelusz. Buenos Aires 1966.
  • Mario Copetti. Geometría Racional 2º año. Barreiro y Ramos. Montevideo.1955
  • L. Belcredi-M. Zambra. Matemática. Equipo Edit. Belcredi, Zambra, Alonso, Stonek, Larghero, Grompone. Montevideo 1999.
  • Palter, Robert. Black Athena, Afrocentrism and the History of Science. Ancient Egypt. Mathematics and Liberal Arts. http:// math.trauman.edu/-thamond/history/Ancient Egipt.html.